Function or Not a Function? — Clear Your Confusion¶
কোনো relation (সম্পর্ক) function কি না বুঝতে সবচেয়ে common confusion হলো—পুরো Domain এবং Domain-এর একটি নির্দিষ্ট input-কে একই মনে করা।
Function হওয়ার মূল নিয়ম¶
একটি relation (f:A\rightarrow B) তখনই function হবে, যখন Domain (A)-এর:
- প্রত্যেক input-এর একটি output থাকবে।
- প্রত্যেক input-এর output হবে ঠিক একটি।
অর্থাৎ, পুরো Domain থেকে অনেকগুলো output পাওয়া যেতে পারে। কিন্তু একই input থেকে দুইটি বা তার বেশি different output পাওয়া যাবে না।
Function-এর Valid Mapping¶
অনেক Input থেকে অনেক Output¶
[
a\rightarrow x,\qquad b\rightarrow y,\qquad c\rightarrow z
]
এটি function, কারণ প্রত্যেক input-এর output ঠিক একটি।
অনেক Input থেকে একই Output¶
[
a\rightarrow x,\qquad b\rightarrow x,\qquad c\rightarrow y
]
এটিও function। একটি output-এর সঙ্গে একাধিক input যুক্ত থাকতে পারে। Function-এর নিয়ম এতে ভাঙে না।
Example: (f(x)=x^2)¶
ধরি,
[
f(x)=x^2
]
এবং Domain:
[
A={-2,-1,0,1,2}
]
তাহলে,
[
\begin{aligned}
f(-2)&=4\
f(-1)&=1\
f(0)&=0\
f(1)&=1\
f(2)&=4
\end{aligned}
]
এখানে পুরো Domain থেকে (0,1,4)—একাধিক output পাওয়া গেছে। তবুও এটি function, কারণ প্রত্যেক individual input-এর output ঠিক একটি।
আবার,
[
f(-2)=4,\qquad f(2)=4
]
অর্থাৎ দুইটি input একই output দিয়েছে। এতেও কোনো সমস্যা নেই।
কখন Function হবে না?¶
একই Input থেকে একাধিক Output¶
যদি এমন হয়:
[
c\rightarrow x
\qquad\text{এবং}\qquad
c\rightarrow z
]
তাহলে relation-টি function নয়। কারণ একই input (c)-এর দুইটি different output রয়েছে।
একইভাবে,
[
f(2)=4
\quad\text{এবং একই সঙ্গে}\quad
f(2)=5
]
হলে এটি function হবে না।
কোনো Input-এর Output না থাকলে¶
ধরি, Domain:
[
A={a,b,c}
]
কিন্তু mapping দেওয়া হয়েছে শুধু:
[
a\rightarrow x,\qquad b\rightarrow y
]
এখানে (c)-এর কোনো output নেই। তাই এটিও function নয়। Function-এ Domain-এর কোনো element বাদ দেওয়া যাবে না।
Function Check করার সহজ পদ্ধতি¶
Mapping diagram দেখলে Domain-এর প্রতিটি element আলাদাভাবে check করতে হবে:
- প্রত্যেক input থেকে একটি arrow বের হয়েছে কি?
- কোনো input থেকে একাধিক arrow বের হয়েছে কি?
যদি প্রত্যেক input থেকে ঠিক একটি arrow বের হয়, তাহলে এটি function।
সংক্ষেপে¶
| Mapping Situation | Function? |
|---|---|
| একটি input → ঠিক একটি output | ✅ Function |
| অনেক input → অনেক output | ✅ Function হতে পারে |
| অনেক input → একই output | ✅ Function |
| একই input → একাধিক output | ❌ Not a function |
| কোনো input-এর output নেই | ❌ Not a function |
মনে রাখার সহজ নিয়ম¶
পুরো Domain থেকে অনেক output পাওয়া যেতে পারে, কিন্তু Domain-এর একটি নির্দিষ্ট input থেকে অবশ্যই ঠিক একটি output পাওয়া যাবে।
আরও সংক্ষেপে:
[
\boxed{\text{Every input must have exactly one output.}}
]