For exam

Linear Dependence

Linearly Independent Definition:
A set of vectors is said to be linearly independent if none of the vectors can be expressed as a linear combination of the others.

আরও ছোট করে:

Alternative definition:
Vectors are linearly independent if no vector is a scalar multiple of another vector.
“একটা দিয়ে আরেকটা বানানো না গেলে → Linear Independent”

Here is an “apartment” analogy:

• Field (F): the measurement system and scaling rules (what scalars are allowed).
• Scalar: the number you use to resize a brick (comes from the field).
• Vector: a brick (a directed piece you can use).
• Vector space (V): the whole apartment complex that obeys the rules over the field.
• Vector addition: stacking bricks together.
• Scalar multiplication: resizing or flipping a brick.
• Linear combination: any build you make using resizing + stacking.
• Span / Generator: the set of all builds you can make from a given brick set (all possible rooms you can produce from those bricks).
• Linear dependence: at least one brick is redundant (can be built from the others).
• Linear independence: no brick is redundant.
• Basis: the smallest set of bricks that still builds the whole apartment (spans V and is independent).
• Dimension: how many bricks are in a basis (how many independent “directions” the apartment needs).
  

System of Linear eqn

Equation checking

Exam-এর সময় অংকটা দেখে ভয় না পেয়ে এই flowchart-টি মাথায় রাখবে। এটি তোমাকে দ্রুত সঠিক method খুঁজে পেতে সাহায্য করবে:

1. Variable Separation (চলক পৃথকীকরণ)

সবার আগে দেখবে \(x\) এবং \(y\) গুলোকে কি গুণ-ভাগ করে আলাদা আলাদা করা যাচ্ছে?

• চেনার উপায়: যদি সমীকরণটিকে \(f(x)dx = g(y)dy\) আকারে লেখা যায়।

2. Homogeneous or Proportional (ধরণ যাচাই)

যদি separate করা না যায়, তবে পদগুলোর ঘাত (degree) এবং সহগ (coefficient) লক্ষ্য করো।

• Homogeneous: প্রতিটি পদের ঘাত কি সমান? যেমন: \(x^2, y^2, xy\)—সবগুলোর ঘাত ২। এখানে \(y=vx\) ধরবে।
• Proportional Coefficients: তোমার নোটের অংকের মতো (image_4181bf.jpg) যদি \(\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{a'x+b'y+c'}\) ফর্মে থাকে এবং \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}\) হয়, তবে \(x+y=v\) ধরবে.

3. Exactness Test (\(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\))

যদি উপরের কোনোটা না কাজ করে, তবে \(Mdx + Ndy = 0\) ধরে differentiate করবে.

• যদি \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) হয়, তবে এটি একটি Exact Equation.
• সরাসরি সূত্র \(\int M dx + \int (\text{terms of } N \text{ without } x) dy = C\) বসিয়ে সমাধান করবে.

4. Finding the Integrating Factor (IF)

যদি Exact না হয় (\(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\)), তবে তোমাকে IF বের করতে হবে. এর জন্য ৩টি প্রধান rule আছে:

Rule	কখোন ব্যবহার করবে?	Formula
Rule A	\(\frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})\) করলে যদি শুধু \(x\) থাকে।	\(IF = e^{\int f(x)dx}\)
Rule B	\(\frac{1}{M}(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})\) করলে যদি শুধু \(y\) থাকে।	\(IF = e^{\int g(y)dy}\)
Rule C	যদি চেহারা \(y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0\) টাইপ হয় (image_ba83b5.png)।	\(IF = \frac{1}{Mx - Ny}\)

---

Example for your last image (image_d55177.png):

এখানে সমীকরণটি \(x^a y^b (m y dx + n x dy) + \dots\) ফর্মে আছে। এই ক্ষেত্রে \(IF = x^h y^k\) ধরে solve করতে হয়।

আমি কি তোমার জন্য এই "Method চেনার" ওপর একটা ছোট কুইজ বা প্র্যাকটিস সেট দেব? এটি তোমাকে পরীক্ষার জন্য আরও কনফিডেন্ট করবে।