Class 01

Boolean Algebra – Class Lecture

আজকে আমরা শিখব Boolean Algebra নিয়ে।
Boolean Algebra basically একটা mathematical system, যেটা দিয়ে আমরা logic operation করি using binary variables. Binary মানে শুধু দুইটা value নিতে পারবে:

• 1 → True / High
• 0 → False / Low

Variable সাধারণত alphabet দিয়ে represent করি, যেমন A, B, C.
যদি আমরা A bar (\(\overline{A}\)) লিখি, মানে A-এর complement, অর্থাৎ A=1 হলে \(\overline{A}\)=0 আর A=0 হলে \(\overline{A}\)=1.

---

Boolean Function

Boolean function হলো এমন একটা equation যেখানে variable গুলা combine হয় AND (·), OR (+ বা \(\vee\)), আর NOT (bar) দিয়ে।
Example:

\[ F = \overline{A} \cdot \overline{B} \, \vee \, C \]

মানে F হবে 1 যদি A এবং B দুটোই 0 হয়, অথবা C=1 হয়।

---

Truth Table বানানো

Truth Table basically সব possible input combination এর জন্য output দেখায়।
এই function \(F = \overline{A} \cdot \overline{B} \vee C\) এর truth table:

A	B	C	\(\overline{A}\)	\(\overline{B}\)	\(\overline{A} \cdot \overline{B}\)	F
0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	1

---

Logic Circuit Diagram

Circuit বানাতে প্রথমে A আর B এর উপর NOT gate লাগাবো, তারপর output দুইটা AND gate দিয়ে connect করব, তারপর C এর সাথে একটা OR gate এ দিবো। Final output হবে F.

Figure 1: Logic circuit implementation of \(F = \overline{A} \cdot \overline{B} \vee C\) using NOT, AND, and OR gates.

---

কিছু Boolean Identities

1. \(A \vee 0 = A\)
2. \(A \cdot 0 = 0\)
3. \(A \vee 1 = 1\)
4. \(A \cdot 1 = A\)
5. \(A \vee A = A\)
6. \(A \cdot A = A\)
7. \(A \vee \overline{A} = 1\)
8. \(A \cdot \overline{A} = 0\)
9. \(\overline{\overline{A}} = A\)
10. \(A \vee B = B \vee A\) (Commutative)

---

আমরা expression টা নিচ্ছি:

\[ F = ABCD \vee \overline{A}BCD \vee BC \]

Step-by-step:

1. \(BC(AD \vee \overline{A}D \vee 1)\) – এখানে common \(BC\) বের করে নিলাম।
2. \(= BCD(A \vee \overline{A}) \vee BC\) – Identity: \(A \vee \overline{A} = 1\)
3. \(= BCD \cdot 1 \vee BC\) – 1 দিয়ে AND করলে একই থাকে।
4. \(= BCD \vee BC\) – এখন BC বের করলে আরও simplify হবে।
5. \(= BC(D \vee 1)\) – Identity: \(X \vee 1 = 1\)
6. \(= BC \cdot 1 = BC\)

So final simplified form:

\[ F = BC \]

---

Consensus Theorem (1)

1. Consensus মানে হলো একতা বা সাম্য।

Consensus theorem বলে যে:

\[ AB\overline{C} \vee BC \vee A\overline{C} = AB \vee A\overline{C} \]

মানে, যদি expression এর মধ্যে এমন একটি term থাকে যেখানে একটি literal (যেমন B) AND হয়েছে তার complement-এর সাথে (অন্য term-এ), তাহলে ওই AND term টা বাদ দেওয়া যায়।

Easy ভাবে: একটা term অন্য দুই term-এর মধ্যে "consensus" তৈরি করে, যেটা actually redundant, তাই আমরা সেটা সরিয়ে ফেলতে পারি।

---

Just English – Textbook Style

Example Simplification

Given:

\[ F = ABCD \vee \overline{A}BCD \vee BC \]

Steps:

1. Factor \(BC\):

\[ F = BC(AD \vee \overline{A}D \vee 1) \]

1. Apply complement law \(A \vee \overline{A} = 1\):

\[ = BCD(1) \vee BC \]

1. Simplify \(X \cdot 1 = X\):

\[ = BCD \vee BC \]

1. Factor \(BC\) again:

\[ = BC(D \vee 1) \]

1. Apply identity law \(X \vee 1 = 1\):

\[ = BC \cdot 1 \]

1. Final:

\[ F = BC \]

---

Consensus Theorem (Textbook Form)

The Consensus Theorem states:

\[ AB\overline{C} \vee BC \vee A\overline{C} = AB \vee A\overline{C} \]

The theorem indicates that the AND term \(BC\) can be eliminated if one literal (such as \(B\)) appears in both complemented and uncomplemented form in other terms of the expression.